Оглавление

5. Стереометрия Читать 0 мин.

5.1. Основные стереометрические фигуры

Среди огромного множества объемных фигур можно выделить три большие группы:

ПРИЗМЫ:

n-угольная призма - многогранник, две грани которого равные n-угольники, лежащие в параллельных плоскостях, а остальные n граней − параллелограммы.

Примеры:

Треугольная призма

Четырехугольная призма

Шестиугольная призма

Элементы призмы:

Два n − угольника являются основаниями призмы (ABCD), параллелограммы − боковыми гранями (AB B₁A₁).

Стороны граней называются ребрами призмы (например, AD), а концы ребер − вершинами призмы (например, D).

Высота призмы - отрезок перпендикуляра, заключенный между основаниями призмы (СO). Для наклонной призмы высота может находится за пределами призмы или лежать внутри нее.

Диагональ призмы - отрезок, соединяющий две вершины оснований, не лежащие в одной грани (например, B₁D)

Виды призм:

Прямая призма

призма, боковые ребра которой перпендикулярны плоскостям оснований.

Наклонная призма

призма, боковые ребра которой являются наклонными к плоскостям оснований.

$ABCA_1B_1C_1$– прямая треугольная призма

$ABCA_1B_1C_1$– наклонная треугольная призма

Правильная призма - прямая призма, основанием которой является правильный многоугольник.

Свойства призмы:

  • Верхнее и нижнее основания призмы – это равные многоугольники.
  • Боковые грани призмы имеют вид параллелограмма.
  • Боковые ребра призмы параллельные и равны.
  • Объем призмы равен произведению площади основания призмы, на высоту.

$V_{\text{призмы}} = S_{\text{осн}}\cdot h$

Для прямой призмы высотой будет является любое из боковых ребер.

$ABCDA_1B_1C_1D_1$ — произвольная призма.

$V_{ABCDA_1B_1C_1D_1} = S_{ABCD}\cdot B_1O$

$ABCDA_1B_1C_1D_1$ — прямая призма.

$V_{ABCDA_1B_1C_1D_1} = S_{ABCD}\cdot AA_1$

  • Площадь полной поверхности призмы равна сумме площади её боковой поверхности и двойной

площади основания.

$S_{\text{полн.поверх}} = S_{\text{бок.}} + 2S_{\text{осн.}}$

Площадь боковой поверхности прямой призмы:

$S_{\text{бок.}} = P \cdot h$

где P — периметр перпендикулярного сечения, h — высота. То есть:

$S_{\text{полн.поверх}} = P \cdot h + 2S_{\text{осн.}}$

$ABCDA_1B_1C_1D_1$ - прямая призма.

$S_{ABCDA_1B_1C_1D_1} = P_{ABCD}\cdot AA_1 + 2S_{ABCD}$

Особенные призмы:

Параллелепипед - призма, все грани которой − параллелограммы.

Прямой параллелепипед - параллелепипед, боковые ребра которого перпендикулярны плоскостям оснований.

Прямоугольный параллелепипед - прямой параллелепипед, основанием которого является прямоугольник.

Все грани – прямоугольники.

Куб (гексаэдр) - прямоугольный параллелепипед с равными ребрами.

Все грани − квадраты.

Квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов трех его измерений:

d² = a² + b² + c²,

где a, b, c − длины ребер, выходящих из одной вершины, d − диагональ параллелепипеда.

Квадрат диагонали куба равен квадрату его ребра, умноженному на 3:

d² = 3a²,

где a − длина ребра куба.

Площадь поверхности куба можно найти по формуле:

S = 6a²

Объем прямоугольного параллелепипеда находят по формуле

V = abc

Объем куба можно найти по формуле:

V = a³

ПИРАМИДЫ:

n-угольная пирамида – многогранник, одна грань которого – n-угольник, а остальные грани − треугольники с общей вершиной.

Примеры:

Треугольная пирамида

Четырехугольная пирамида

Шестиугольная пирамида

Элементы пирамиды:

n-угольник называется основанием пирамиды (ABCD), а треугольники − боковыми гранями (например, SBC).

Высота пирамиды - отрезок перпендикуляра, проведенного из вершины пирамиды к плоскости основания (SO). Для абсолютно произвольной пирамиды положение точки O заранее неизвестно.

Апофема - высота боковой грани правильной пирамиды, проведенная из её вершины (SH).

Особенные пирамиды:

Правильная пирамида – пирамида, основанием которой является правильный многоугольник, а высота опускается в центр вписанной и описанной окружности многоугольника, лежащего в основании пирамиды. В правильной пирамиде обязательно равны между собой ребра основания, и равны между собой боковые ребра. Но не обязательно боковое ребро равно ребру в основании.

Тетраэдр - треугольная пирамида. Тетраэдр называется правильным, если все его ребра равны.

Усеченная пирамида – многогранник, вершинами которого служат вершины основания пирамиды и вершины её сечения плоскостью, параллельной основанию пирамиды. Основания усеченной пирамиды − подобные многоугольники.

Свойства пирамиды:

  • Если все боковые ребра пирамиды равны или наклонены к плоскости основания под одним и тем же углом, то высота опускается в центр описанной окружности.
  • Если боковые грани пирамиды наклонены к плоскости основания под одним и тем же углом (двугранные углы при основании равны), то высота опускается в центр вписанной окружности.

Если$\angle{DPO} = \angle{DKO} = \angle{DMO}\;$то $\qquad$

О – центр вписанной окружности

Если $DA=DB=DC$,то

О – центр описанной окружности

  • Объем пирамиды равен произведению площади ее основания на высоту, деленному на три:

$V_{\text{пир.}} = \frac{1}{3}S_{\text{осню.}}\cdot h$

$ \begin{cases} ABCD - \text{произвольная пирамида} \\ DO \perp ABC \end{cases} \Rightarrow V_{ABCD} = \frac{1}{3}S_{ABC} \cdot DO $

  • Площадь полной поверхности пирамиды складывается из площади основания и суммы площадей всех боковых граней (при этом для произвольной пирамиды эти грани могут быть разные, поэтому площади у них тоже будут разные).

Площадь боковой поверхности правильной пирамиды можно найти по одной формуле

$S_{\text{полн.пир}}= \displaystyle\frac{1}{2}P_{\text{осн.}} \cdot h_{\text{бок.}}$

где $P_{\text{осн.}}$ — периметр основания, $h_{\text{бок.}}$ — апофема пирамиды.

Если ABCD — произвольная пирамида, то

$S_{ABCD} = S_{ABC} + S_{DAC} + S_{DBC} + S_{DAB}$

Если ABCD — правильная пирамида, то

$S_{ABCD} = S_{ABC} + \frac{1}{2}P_{ABC}\cdot DH$

ТЕЛА ВРАЩЕНИЯ:

Цилиндр – фигура, полученная в результате вращения прямоугольника вокруг одной из его сторон.

Элементы цилиндра:

  • — ось вращения и высота

l (AB, CD) – образующая

ABCD − осевое сечение цилиндра, полученного вращением прямоугольника $OO_1CD$ вокруг его стороны $OO_1CD$

Свойства цилиндра:

  • Любое сечение цилиндра, параллельное его оси – прямоугольник.

Любое сечение цилиндра, параллельное его основанию – круг, равный основанию цилиндра.

Сечение цилиндра, наклонное к его оси и основанию – эллипс.

  • Объем цилиндра равен произведению площади его основания на высоту:

$V_{\text{цил.}} = S_{\text{осн.}}\cdot h$

где $S_{\text{осн.}} = \pi R^2$ – площадь основания цилиндра; h – высота.

  • Полная поверхность цилиндра равна сумме его боковой поверхности и двух оснований.

$S_{\text{пов.цил.}} = 2S_{\text{осн.}} + S_{\text{бок.}}$

Боковая поверхность равна:

$S_{\text{бок.}} = 2\pi Rl$

где R − радиус основания, h − высота, l − образующая цилиндра.

Конус – фигура, полученная в результате вращения прямоугольного треугольника вокруг одного из катетов.

Элементы конуса:

− ось вращения и высота

l (AC, CB) – образующая

ABC − осевое сечение конуса, полученного вращением треугольника ABC вокруг его стороны

Свойства конуса:

  • Любое сечение конуса, проходящее через его вершину - треугольник.

Любое сечение конуса, параллельное его основанию – круг, подобный основанию конуса.

Сечение конуса, наклонное к его основанию и не проходящее через вершину – эллипс.

  • Объем конуса равен произведению площади его основания на высоту, деленному на три:

$V_{\text{кон.}} = \displaystyle\frac{1}{3}S_{\text{осн.}}\cdot h$

где $S_{\text{осн.}} = \pi R^2$– площадь основания конуса; h – высота.

  • Полная поверхность конуса равна сумме его боковой поверхности и основания.

$S_{\text{пов.кон}} = S_{\text{осн.}} + S_{\text{бок.}}$

Боковая поверхность равна:

$S_{\text{бок.}} = \pi Rl$

где R − радиус основания, l − образующая конуса.

Сфера – фигура, полученная в результате вращения полуокружности вокруг ее диаметра.

Шар – фигура, полученная вращением полукруга вокруг его диаметра.

Свойства шара и сферы:

  • Любое сечение шара – круг (например, круг радиуса r)

Сечение шара плоскостью, проходящей через его центр, называется большим кругом (круг радиуса R).

  • Касательной плоскостью к сфере (шару) называется плоскость, имеющая со сферой единственную общую точку. Эту точку называют точкой касания сферы и плоскости. Касательная плоскость перпендикулярна радиусу сферы в точке касания (по аналогии с перпендикулярностью касательной и радиуса окружности).
  • Объем шара радиуса R находят по формуле:

$V_{\text{шара}} = \displaystyle\frac{4}{3} \pi R^3$

  • Площадь сферы радиуса R:

$S_{\text{сферы}} = 4\pi R^2$

Прочитано Отметь, если полностью прочитал текст
Ништяк!

Решено верно

Браво!

Решено верно

Крутяк!

Решено верно

Зачёт!

Решено верно

Чётко!

Решено верно

Бомбезно!

Решено верно

Огонь!

Решено верно

Юхууу!

Решено верно

Отпад!

Решено верно

Шикарно!

Решено верно

Блестяще!

Решено верно

Волшебно!

Решено верно