Оглавление

5. Стереометрия Читать 0 мин.

5.2. Углы

Углы

Классическим заданием с развернутым ответом на стереометрию является задача на нахождение угла. В стереометрии найти угол могут предложить между следующими комбинациями фигур:

Рассмотрим каждую комбинацию, чтобы понять, как искать разные виды углов и какие методы можно применять.

УГОЛ МЕЖДУ СКРЕЩИВАЮЩИМИСЯ ПРЯМЫМИ

Угол между скрещивающимися прямыми ― это угол между параллельными им прямыми, лежащими в одной плоскости.

Это значит, что никогда не пересекающиеся прямые в пространстве мы делаем «пересекающимися»: для этого нужно построить пересекающиеся прямые, параллельные данным. Угол между ними будет искомым.

Часто достаточно только к одной из скрещивающихся прямых построить параллельную прямую.

Например, если бы мы отметили точку M на прямой b и через точку M провели прямую $ a_1 \parallel a $.

УГОЛ МЕЖДУ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТЬЮ

Угол между прямой и плоскостью - угол между прямой и ее проекцией на эту плоскость.

Для того, чтобы найти угол между прямой и плоскостью, нужно сначала получить проекцию этой прямой на плоскость, а потом найти угол.

Прямая, пересекающая плоскость β в точке O

Из произвольной точки А на прямой опустим перпендикуляр AH на плоскость β.

Тогда OH – проекция прямой на плоскость β.

Угол между прямой и наклонной, то есть ∠ AOH и есть искомый угол между .

 

УГОЛ МЕЖДУ ПЛОСКОСТЯМИ

Для начала вспомним пару определений:

Метод перпендикуляров к линии пересечения.Нахождения угла между плоскостями – одна из самых сложных задач на углы, поэтому тут мы можем воспользоваться несколькими методами.

Угол между плоскостями вычисляется как угол между прямыми, лежащими в этих плоскостях и перпендикулярными к линии их пересечения. Это основной способ нахождения угла между плоскостями.

Находим линию пересечения плоскостей α и β – AB.

Из «удобной» точки К в плоскости α (это может быть вершина многогранника, середина ребра и т.д.) опускаем перпендикуляр KH на AB.

В точку H опустим перпендикуляр из точки M в плоскости β.

∠ KHM – искомый угол между плоскостями α и β

  • Метод перпендикуляров к плоскостям.

Угол между плоскостями вычисляется как угол между перпендикулярами к данным плоскостям. Этот способ удобен, если перпендикуляр к плоскости построить удобнее, чем построить перпендикуляры к линии пересечения плоскостей (или перпендикуляр к плоскости уже есть по условию задачи).

Из произвольной точки O пространства опустим перпендикуляр OM на плоскость β.

Из точки O опустим так же перпендикуляр OH на плоскость α.

Любой из двух смежных углов между OM и OH может считать искомым, но так как угол между плоскостями измеряется от 0 до 90°, то берем острый.

MOK – искомый угол между плоскостями α и β

  • Метод параллельных плоскостей.

Угол между плоскостями вычисляется как угол между плоскостями, параллельными данным плоскостям. Этот способ применим, когда угол между данными плоскостями по каким-то причинам искать неудобно, а удобнее найти угол между плоскостями, параллельными данным.

Угол между плоскостями α и β затруднительно искать (например, нет «удобных точек» или тяжело построить взаимные перпендикуляры).

Построим плоскость γ, параллельную β (или в стереометрической фигуре она уже есть)

По методу перпендикуляров к линии пересечения найдем угол между плоскостями α и γ.

MНK – искомый угол между плоскостями α и β

Прочитано Отметь, если полностью прочитал текст
Ништяк!

Решено верно

Браво!

Решено верно

Крутяк!

Решено верно

Зачёт!

Решено верно

Чётко!

Решено верно

Бомбезно!

Решено верно

Огонь!

Решено верно

Юхууу!

Решено верно

Отпад!

Решено верно

Шикарно!

Решено верно

Блестяще!

Решено верно

Волшебно!

Решено верно