Оглавление

3. Алгебра Читать 0 мин.

3.3. Разложение на множители. Формулы сокращённого умножения

Существует несколько методов, с помощью которых можно представить выражение в виде произведения.

Вынесение за скобки

Этот метод используется, если в каждом слагаемом выражения есть повторяющиеся элементы. Разложим на множители выражение $ 2x^{2}y+xy^{2} $:

1. Определяем одночлен (выражение, представляющее собой произведение отдельных элементов), который есть в каждом слагаемом выражения. В данном случае это $ xy $.

2. Выносим повторяющиеся элементы за скобку. Для этого каждое слагаемое выражения необходимо разделить на выносимый одночлен и записать частное от деления.

$ 2x^{2}y+xy^{2}=xy \big( \frac {2x^{2}y}{xy}+ \frac {xy^{2}}{xy} \big)=xy(2x+y) $

Деление выполняется по обычным правилам, то есть при вынесении одночлена со знаком «–» знак частного меняется на противоположный:

$ -2t^{2}-t=-t(2t+1) $

После раскрытия скобок должно получиться исходное выражение. Это свойство можно использовать для проверки.

Группировка

Далеко не всегда в выражении будут повторяющиеся элементы. Но можно попробовать «создать» их самостоятельно. Рассмотрим алгоритм метода, который позволяет это сделать, на примере выражения $ 35a^{2}+7a^{2}b^{2}+5b+b^{3} $

1. Сгруппируем отдельные слагаемые таким образом, чтобы в каждой группе появились повторяющиеся элементы. Слагаемые не обязательно должны идти по порядку.

$ 35a^{2}+7a^{2}b^{2}+5b+b^{3}=(35a^{2}+7a^{2}b^{2})+(5b+b^{3}) $

2. В каждой группе вынесем повторяющийся одночлен за скобки.

$ (35a^{2}+7a^{2}b^{2})+(5b+b^{3})=7a^{2}(5+b^{2})+b(5+b^{2}) $

3. Теперь можно вынести одинаковые выражения точно так же, как выносятся одночлены.

$ 7a^{2}(5+b^{2})+b(5+b^{2})=(7a^{2}+b)(5+b^{2}) $

Аналогично можно создавать группы из трех и более слагаемых. Разложим на множители следующее выражение:

$ 2x^{5}y^{5}z+13xy+x^{3}y^{3}+26xyz+x^{5}y^{5}+2x^{3}y^{3}z $

1. Группируем отдельные слагаемые.

$ 2x^{5}y^{5}z+13xy+x^{3}y^{3}+26xyz+x^{5}y^{5}+2x^{3}y^{3}z=(13xy+x^{3}y^{3}+x^{5}y^{5})+(26xyz+2x^{3}y^{3}z+2x^{5}y^{5}z) $

2. Выносим повторяющиеся элементы за скобку. В некоторых случаях вынести можно только 1.

$ (13xy+x^{3}y^{3}+x^{5}y^{5})+(26xyz+2x^{3}y^{3}z+2x^{5}y^{5}z)=1 \cdot (13xy+x^{3}y^{3}+x^{5}y^{5})+2z(13xy+x^{3}y^{3}x^{5}y^{5}) $

3.Выносим повторяющиеся скобки.

$ 1 \cdot (13xy+x^{3}y^{3}+x^{5}y^{5})+2z(13xy+x^{3}y^{3}x^{5}y^{5})=(13xy+x^{3}y^{3}+x^{5}y^{5})(1+2z) $

Иногда удобно делить слагаемые на три группы (и более). Алгоритм решения при этом не меняется.

Разложение на множители квадратного трехчлена

Выражения вида $ ax^{2}+bx+c $, где $ a \neq 0,b,c $ – некоторые числа, можно представить в виде произведения:

$ ax^{2}+bx+c=a(x-x_{1})(x-x_{2}) $

В котором $ x_{1},\;x_{2} $ – корни уравнения $ ax^{2}+bx+c=0 $.

Рассмотрим следующий пример, в котором нужно разложить на множители выражение: $ x^{2}+3x-4 $

1. Определим корни уравнения $ x^{2}+3x-4=0 $ с помощью дискриминанта или по теореме Виета.

$ \left[ \begin{array}{c} x_{1}=1 \;\; \\ x_{2}=-4 \end{array} \right. $

2. Подставим найденные корни в формулу $ ax^{2}+bx+c=a (x-x_{1})(x-x_{2}) $. В данном случае $ a=1 $.

$ x^{2}+3x-4=(x-1)(x+4) $

Разложение на множители с помощью формул сокращенного умножения

Формулы сокращенного умножения (ФСУ) – готовые формулы по которым можно представить некоторые выражения в виде произведения и наоборот – некоторые произведения в виде выражения, не раскрывая скобки и не приводя подобные слагаемые.

Название Формула
Разность квадратов $ a^{2}-b^{2}=(a-b)(a+b) $
Квадрат разности $ (a-b)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} $
Квадрат суммы $ (a+b)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} $
Разность кубов $ a^{3}-b^{3}=(a-b)(a^{2}+ab+b^{2}) $
Сумма кубов $ a^{3}+b^{3}=(a+b)(a^{2}-ab+b^{2}) $
Куб разности $ (a-b)^{3}=a^{3}-3a^{2}b+3ab^{2}-b^{3} $
Куб суммы $ (a+b)^{3}=a^{3}+3a^{2}b+3ab^{2}+b^{3} $

Замечательным свойством этих правил является то, что если вместо $ a,b $ стоят другие буквы или выражения, сами формулы остаются неизменными.

Алгоритм разложения на множители с помощью ФСУ

1. Определяем наиболее похожую на выражение формулу.

2. С помощью свойств степеней преобразуем отдельные слагаемые так, чтобы выражение приняло вид, определенный в пункте 1.

3. Используем соответствующую формулу.

Рассмотрим несколько задач, в которых применяется данный алгоритм.

Пример 1

$ 4m^{2}+4mn+n^{2} $

1. Выражение похоже на квадрат суммы.

2. Преобразуем отдельные слагаемые:

$ 4m^{2}+4mn+n^{2}=(2m)^{2}+2 \cdot 2m \cdot n+n^{2} $

3. Воспользуемся формулой квадрата суммы:

$ (2m)^{2}+2 \cdot 2m \cdot n+n^{2}=(2m+n)^{2} $

Пример 2

$ 27x^{3}-8y^{3} $

1. Выражение похоже на разность кубов.

2. Преобразуем отдельные слагаемые:

$ 27x^{3}-8y^{3}=(3x)^3-(2y)^{3} $

3. Воспользуемся формулой разности кубов:

$ (3x)^3-(2y)^{3}=(3x-2y)(9x^{2}+6xy+4y^{2}) $

Пример 3

$ 25x^{2}y^{2}-p^{6}z^{4} $

1. Выражение похоже на разность квадратов.

2. Преобразуем отдельные слагаемые:

$ 25x^{2}y^{2}-p^{6}z^{4}=(5xy)^{2}-(p^{3}z^{2})^{2} $

3. Воспользуемся формулой разности квадратов:

$ (5xy)^{2}-(p^{3}z^{2})^{2}=(5xy-p^{3}z^{2})(5xy+p^{3}z^{2}) $

Упрощение дробей

Дробно-рациональное выражение можно упростить, если представить в виде произведения числитель и знаменатель (с помощью любого правила, приведенного выше), а затем сократить повторяющиеся множители.

Упростим выражение $ \frac {x^{2}-xy}{x^{2}-2xy+y^{2}} $ :

1. В числителе вынесем повторяющийся элемент за скобки, а знаменатель свернем по формуле квадрата разности.

$ \frac {x^{2}-xy}{x^{2}-2xy+y^{2}}=\frac {x(x-y)}{(x-y)^{2}} $

2. Сократим повторяющиеся элементы.

$ \frac {x(x-y)}{(x-y)^{2}}=\frac {x}{x-y} $

Прочитано Отметь, если полностью прочитал текст
Ништяк!

Решено верно

Браво!

Решено верно

Крутяк!

Решено верно

Зачёт!

Решено верно

Чётко!

Решено верно

Бомбезно!

Решено верно

Огонь!

Решено верно

Юхууу!

Решено верно

Отпад!

Решено верно

Шикарно!

Решено верно

Блестяще!

Решено верно

Волшебно!

Решено верно