Существует несколько методов, с помощью которых можно представить выражение в виде произведения.

Вынесение за скобки

Этот метод используется, если в каждом слагаемом выражения есть повторяющиеся элементы. Разложим на множители выражение $ 2x^{2}y+xy^{2} $:

1. Определяем одночлен (выражение, представляющее собой произведение отдельных элементов), который есть в каждом слагаемом выражения. В данном случае это $ xy $.

2. Выносим повторяющиеся элементы за скобку. Для этого каждое слагаемое выражения необходимо разделить на выносимый одночлен и записать частное от деления.

$ 2x^{2}y+xy^{2}=xy \big( \frac {2x^{2}y}{xy}+ \frac {xy^{2}}{xy} \big)=xy(2x+y) $

Деление выполняется по обычным правилам, то есть при вынесении одночлена со знаком «–» знак частного меняется на противоположный:

$ -2t^{2}-t=-t(2t+1) $

После раскрытия скобок должно получиться исходное выражение. Это свойство можно использовать для проверки.

Группировка

Далеко не всегда в выражении будут повторяющиеся элементы. Но можно попробовать «создать» их самостоятельно. Рассмотрим алгоритм метода, который позволяет это сделать, на примере выражения $ 35a^{2}+7a^{2}b^{2}+5b+b^{3} $

1. Сгруппируем отдельные слагаемые таким образом, чтобы в каждой группе появились повторяющиеся элементы. Слагаемые не обязательно должны идти по порядку.

$ 35a^{2}+7a^{2}b^{2}+5b+b^{3}=(35a^{2}+7a^{2}b^{2})+(5b+b^{3}) $

2. В каждой группе вынесем повторяющийся одночлен за скобки.

$ (35a^{2}+7a^{2}b^{2})+(5b+b^{3})=7a^{2}(5+b^{2})+b(5+b^{2}) $

3. Теперь можно вынести одинаковые выражения точно так же, как выносятся одночлены.

$ 7a^{2}(5+b^{2})+b(5+b^{2})=(7a^{2}+b)(5+b^{2}) $

Аналогично можно создавать группы из трех и более слагаемых. Разложим на множители следующее выражение:

$ 2x^{5}y^{5}z+13xy+x^{3}y^{3}+26xyz+x^{5}y^{5}+2x^{3}y^{3}z $

1. Группируем отдельные слагаемые.

$ 2x^{5}y^{5}z+13xy+x^{3}y^{3}+26xyz+x^{5}y^{5}+2x^{3}y^{3}z=(13xy+x^{3}y^{3}+x^{5}y^{5})+(26xyz+2x^{3}y^{3}z+2x^{5}y^{5}z) $

2. Выносим повторяющиеся элементы за скобку. В некоторых случаях вынести можно только 1.

$ (13xy+x^{3}y^{3}+x^{5}y^{5})+(26xyz+2x^{3}y^{3}z+2x^{5}y^{5}z)=1 \cdot (13xy+x^{3}y^{3}+x^{5}y^{5})+2z(13xy+x^{3}y^{3}x^{5}y^{5}) $

3.Выносим повторяющиеся скобки.

$ 1 \cdot (13xy+x^{3}y^{3}+x^{5}y^{5})+2z(13xy+x^{3}y^{3}x^{5}y^{5})=(13xy+x^{3}y^{3}+x^{5}y^{5})(1+2z) $

Иногда удобно делить слагаемые на три группы (и более). Алгоритм решения при этом не меняется.

Разложение на множители квадратного трехчлена

Выражения вида $ ax^{2}+bx+c $, где $ a \neq 0,b,c $ – некоторые числа, можно представить в виде произведения:

$ ax^{2}+bx+c=a(x-x_{1})(x-x_{2}) $

В котором $ x_{1},\;x_{2} $ – корни уравнения $ ax^{2}+bx+c=0 $.

Рассмотрим следующий пример, в котором нужно разложить на множители выражение: $ x^{2}+3x-4 $

1. Определим корни уравнения $ x^{2}+3x-4=0 $ с помощью дискриминанта или по теореме Виета.

$ \left[ \begin{array}{c} x_{1}=1 \;\; \\ x_{2}=-4 \end{array} \right. $

2. Подставим найденные корни в формулу $ ax^{2}+bx+c=a (x-x_{1})(x-x_{2}) $. В данном случае $ a=1 $.

$ x^{2}+3x-4=(x-1)(x+4) $

Разложение на множители с помощью формул сокращенного умножения

Формулы сокращенного умножения (ФСУ) – готовые формулы по которым можно представить некоторые выражения в виде произведения и наоборот – некоторые произведения в виде выражения, не раскрывая скобки и не приводя подобные слагаемые.

Замечательным свойством этих правил является то, что если вместо $ a,b $ стоят другие буквы или выражения, сами формулы остаются неизменными.

Алгоритм разложения на множители с помощью ФСУ

1. Определяем наиболее похожую на выражение формулу.

2. С помощью свойств степеней преобразуем отдельные слагаемые так, чтобы выражение приняло вид, определенный в пункте 1.

3. Используем соответствующую формулу.

Рассмотрим несколько задач, в которых применяется данный алгоритм.

Пример 1

$ 4m^{2}+4mn+n^{2} $

1. Выражение похоже на квадрат суммы.

2. Преобразуем отдельные слагаемые:

$ 4m^{2}+4mn+n^{2}=(2m)^{2}+2 \cdot 2m \cdot n+n^{2} $

3. Воспользуемся формулой квадрата суммы:

$ (2m)^{2}+2 \cdot 2m \cdot n+n^{2}=(2m+n)^{2} $

Пример 2

$ 27x^{3}-8y^{3} $

1. Выражение похоже на разность кубов.

2. Преобразуем отдельные слагаемые:

$ 27x^{3}-8y^{3}=(3x)^3-(2y)^{3} $

3. Воспользуемся формулой разности кубов:

$ (3x)^3-(2y)^{3}=(3x-2y)(9x^{2}+6xy+4y^{2}) $

Пример 3

$ 25x^{2}y^{2}-p^{6}z^{4} $

1. Выражение похоже на разность квадратов.

2. Преобразуем отдельные слагаемые:

$ 25x^{2}y^{2}-p^{6}z^{4}=(5xy)^{2}-(p^{3}z^{2})^{2} $

3. Воспользуемся формулой разности квадратов:

$ (5xy)^{2}-(p^{3}z^{2})^{2}=(5xy-p^{3}z^{2})(5xy+p^{3}z^{2}) $

Упрощение дробей

Дробно-рациональное выражение можно упростить, если представить в виде произведения числитель и знаменатель (с помощью любого правила, приведенного выше), а затем сократить повторяющиеся множители.

Упростим выражение $ \frac {x^{2}-xy}{x^{2}-2xy+y^{2}} $ :

1. В числителе вынесем повторяющийся элемент за скобки, а знаменатель свернем по формуле квадрата разности.

$ \frac {x^{2}-xy}{x^{2}-2xy+y^{2}}=\frac {x(x-y)}{(x-y)^{2}} $

2. Сократим повторяющиеся элементы.

$ \frac {x(x-y)}{(x-y)^{2}}=\frac {x}{x-y} $