Существует несколько методов, с помощью которых можно представить выражение в виде произведения.

Вынесение за скобки

Этот метод используется, если в каждом слагаемом выражения есть повторяющиеся элементы. Разложим на множители выражение $2x^{2}y+xy^{2}$:

1. Определяем одночлен (выражение, представляющее собой произведение отдельных элементов), который есть в каждом слагаемом выражения. В данном случае это $xy$.

2. Выносим повторяющиеся элементы за скобку. Для этого каждое слагаемое выражения необходимо разделить на выносимый одночлен и записать частное от деления.

$2x^{2}y+xy^{2}=xy \big( \frac {2x^{2}y}{xy}+ \frac {xy^{2}}{xy} \big)=xy(2x+y)$

Деление выполняется по обычным правилам, то есть при вынесении одночлена со знаком «–» знак частного меняется на противоположный:

$-2t^{2}-t=-t(2t+1)$

После раскрытия скобок должно получиться исходное выражение. Это свойство можно использовать для проверки.

Группировка

Далеко не всегда в выражении будут повторяющиеся элементы. Но можно попробовать «создать» их самостоятельно. Рассмотрим алгоритм метода, который позволяет это сделать, на примере выражения $35a^{2}+7a^{2}b^{2}+5b+b^{3}$

1. Сгруппируем отдельные слагаемые таким образом, чтобы в каждой группе появились повторяющиеся элементы. Слагаемые не обязательно должны идти по порядку.

$35a^{2}+7a^{2}b^{2}+5b+b^{3}=(35a^{2}+7a^{2}b^{2})+(5b+b^{3})$

2. В каждой группе вынесем повторяющийся одночлен за скобки.

$(35a^{2}+7a^{2}b^{2})+(5b+b^{3})=7a^{2}(5+b^{2})+b(5+b^{2})$

3. Теперь можно вынести одинаковые выражения точно так же, как выносятся одночлены.

$7a^{2}(5+b^{2})+b(5+b^{2})=(7a^{2}+b)(5+b^{2})$

Аналогично можно создавать группы из трех и более слагаемых. Разложим на множители следующее выражение:

$2x^{5}y^{5}z+13xy+x^{3}y^{3}+26xyz+x^{5}y^{5}+2x^{3}y^{3}z$

1. Группируем отдельные слагаемые.

$2x^{5}y^{5}z+13xy+x^{3}y^{3}+26xyz+x^{5}y^{5}+2x^{3}y^{3}z=(13xy+x^{3}y^{3}+x^{5}y^{5})+(26xyz+2x^{3}y^{3}z+2x^{5}y^{5}z)$

2. Выносим повторяющиеся элементы за скобку. В некоторых случаях вынести можно только 1.

$(13xy+x^{3}y^{3}+x^{5}y^{5})+(26xyz+2x^{3}y^{3}z+2x^{5}y^{5}z)=1 \cdot (13xy+x^{3}y^{3}+x^{5}y^{5})+2z(13xy+x^{3}y^{3}x^{5}y^{5})$

3.Выносим повторяющиеся скобки.

$1 \cdot (13xy+x^{3}y^{3}+x^{5}y^{5})+2z(13xy+x^{3}y^{3}x^{5}y^{5})=(13xy+x^{3}y^{3}+x^{5}y^{5})(1+2z)$

Иногда удобно делить слагаемые на три группы (и более). Алгоритм решения при этом не меняется.

Разложение на множители квадратного трехчлена

Выражения вида $ax^{2}+bx+c$, где $a \neq 0,b,c$ – некоторые числа, можно представить в виде произведения:

$ax^{2}+bx+c=a(x-x_{1})(x-x_{2})$

В котором $x_{1},\;x_{2}$ – корни уравнения $ax^{2}+bx+c=0$.

Рассмотрим следующий пример, в котором нужно разложить на множители выражение: $x^{2}+3x-4$

1. Определим корни уравнения $x^{2}+3x-4=0$ с помощью дискриминанта или по теореме Виета.

$\left[ \begin{array}{c} x_{1}=1 \;\; \\ x_{2}=-4 \end{array} \right.$

2. Подставим найденные корни в формулу $ax^{2}+bx+c=a (x-x_{1})(x-x_{2})$. В данном случае $a=1$.

$x^{2}+3x-4=(x-1)(x+4)$

Разложение на множители с помощью формул сокращенного умножения

Формулы сокращенного умножения (ФСУ) – готовые формулы по которым можно представить некоторые выражения в виде произведения и наоборот – некоторые произведения в виде выражения, не раскрывая скобки и не приводя подобные слагаемые.

Замечательным свойством этих правил является то, что если вместо $a,b$ стоят другие буквы или выражения, сами формулы остаются неизменными.

Алгоритм разложения на множители с помощью ФСУ

1. Определяем наиболее похожую на выражение формулу.

2. С помощью свойств степеней преобразуем отдельные слагаемые так, чтобы выражение приняло вид, определенный в пункте 1.

3. Используем соответствующую формулу.

Рассмотрим несколько задач, в которых применяется данный алгоритм.

Пример 1

$4m^{2}+4mn+n^{2}$

1. Выражение похоже на квадрат суммы.

2. Преобразуем отдельные слагаемые:

$4m^{2}+4mn+n^{2}=(2m)^{2}+2 \cdot 2m \cdot n+n^{2}$

3. Воспользуемся формулой квадрата суммы:

$(2m)^{2}+2 \cdot 2m \cdot n+n^{2}=(2m+n)^{2}$

Пример 2

$27x^{3}-8y^{3}$

1. Выражение похоже на разность кубов.

2. Преобразуем отдельные слагаемые:

$27x^{3}-8y^{3}=(3x)^3-(2y)^{3}$

3. Воспользуемся формулой разности кубов:

$(3x)^3-(2y)^{3}=(3x-2y)(9x^{2}+6xy+4y^{2})$

Пример 3

$25x^{2}y^{2}-p^{6}z^{4}$

1. Выражение похоже на разность квадратов.

2. Преобразуем отдельные слагаемые:

$25x^{2}y^{2}-p^{6}z^{4}=(5xy)^{2}-(p^{3}z^{2})^{2}$

3. Воспользуемся формулой разности квадратов:

$(5xy)^{2}-(p^{3}z^{2})^{2}=(5xy-p^{3}z^{2})(5xy+p^{3}z^{2})$

Упрощение дробей

Дробно-рациональное выражение можно упростить, если представить в виде произведения числитель и знаменатель (с помощью любого правила, приведенного выше), а затем сократить повторяющиеся множители.

Упростим выражение $\frac {x^{2}-xy}{x^{2}-2xy+y^{2}}$ :

1. В числителе вынесем повторяющийся элемент за скобки, а знаменатель свернем по формуле квадрата разности.

$\frac {x^{2}-xy}{x^{2}-2xy+y^{2}}=\frac {x(x-y)}{(x-y)^{2}}$

2. Сократим повторяющиеся элементы.

$\frac {x(x-y)}{(x-y)^{2}}=\frac {x}{x-y}$