Оглавление

3. Алгебра Читать 0 мин.

3.11. Формулы тригонометрии

Основные тригонометрические формулы

$ sin^{2}\alpha + cos^{2} \alpha = 1 $
$ tg \alpha = \frac {sin \alpha}{cos \alpha}, \; \alpha \neq \frac {\pi} {2}+\pi n, \; n \in Z $
$ ctg \alpha = \frac {cos \alpha}{sin \alpha}, \; \alpha \neq \pi n, \; n \in Z $
$ tg \alpha \cdot ctg \alpha = 1, \; \alpha \neq \frac {\pi n} {2}, \; n \in Z $
$ 1+tg^{2} \alpha = \frac{1}{cos^{2} \alpha}, \; \alpha \neq \frac {\pi}{2}+ \pi n, \; n \in Z $
$ 1+ctg^{2} \alpha = \frac{1}{sin^{2} \alpha}, \; \alpha \neq \pi n, \; n \in Z $

Пример. Найти значение выражения:

$ 5sin^{2}5x+5cos^{2}5x $

Решение. Применяем основное тригонометрическое тождество в виде:

$ sin^{2}5x+cos^{2}5x=1 $

$ 5sin^{2}5x+5cos^{2}5x=5(sin^{2}5x+cos^{2}5x)=5 \cdot 1=5 $

Пример. Найти значение выражения:

$ \frac {cos^{2}x}{1+tg^{2}x} $ при $ cos x = \frac {1}{\sqrt 2} $

Решение. Из основного тригонометрического тождества $ sin^{2}x+cos^{2}x=1 $ следует:

$ tg^{2}x+1= \frac {1}{cos^{2}x} $

Подставим в выражение:

$ \frac {cos^{2}x}{1+tg^{2}x}=\frac {cos^{2}x}{\frac {1}{cos^{2}x}}=cos^{4}x= \big(\frac {1}{\sqrt 2} \big)^{4}= \frac {1}{4}=0,25 $

Тригонометрические формулы суммы и разности двух углов

Формула Название формулы
$ sin(\alpha+\beta)=sin \alpha \cdot cos \beta+cos \alpha \cdot sin \beta $ Синус суммы
$ sin(\alpha-\beta)=sin \alpha \cdot cos \beta-cos \alpha \cdot sin \beta $ Синус разности
$ cos(\alpha+\beta)=cos \alpha \cdot cos \beta-sin \alpha \cdot sin \beta $ Косинус суммы
$ cos(\alpha-\beta)=cos \alpha \cdot cos \beta+sin \alpha \cdot sin \beta $ Косинус разности
$ tg(\alpha+\beta)= \frac {tg \alpha+tg \beta}{1-tg \alpha \cdot tg \beta} \\ \alpha, \; \beta, \; \alpha + \beta \neq \frac {\pi}{2} + \pi n, \; n \in Z$ Тангенс суммы
$ tg(\alpha-\beta)= \frac {tg \alpha-tg \beta}{1+tg \alpha \cdot tg \beta} \\ \alpha, \; \beta, \; \alpha + \beta \neq \frac {\pi}{2} + \pi n, \; n \in Z$ Тангенс разности

Пример. Вычислить $ \sqrt 2 (1 - \sqrt 3) sin 105^{\circ} $

Решение. $ sin 105^{\circ}=sin(60^{\circ}+45^{\circ})=sin 60 ^{\circ} \cdot cos 45 ^{\circ} + cos 60 ^{\circ} \cdot sin 45 ^{\circ} = \frac {\sqrt 3}{2} \cdot \frac {\sqrt 2}{2}+\frac {1}{2}\cdot \frac {\sqrt 2}{2}=\frac {\sqrt 2}{4}(1+\sqrt 3) $.

$ \sqrt 2(1-\sqrt 3) sin 105^{\circ}=\sqrt 2(1-\sqrt 3)\frac {\sqrt 2}{4}(1+\sqrt 3)=\frac {1}{2} (1^{2}- \sqrt 3^{2})=0,5 \cdot (-2)=-1 $

Пример. Вычислить $ \sqrt 2 (1- \sqrt 3) cos \frac {13 \pi}{12} $.

Решение. $ cos \frac {13 \pi}{12}=cos \big(\frac {3 \pi}{4} + \frac {\pi}{3} \big)=cos \frac {3 \pi}{4} \cdot cos \frac {\pi}{3} - sin \frac {3 \pi}{4} \cdot cos \frac {\pi}{3} = - \frac {\sqrt 2}{2} \cdot \frac {1}{2} - \frac {\sqrt 2}{2} \cdot \frac {\sqrt 3}{2} = -\frac {\sqrt 2}{4} (1+\sqrt 3) $.

$ \sqrt 2(1-\sqrt 3) cos \frac {13 \pi}{12}= \sqrt 2(1-\sqrt 3)( -\frac {\sqrt 2}{4}(1+\sqrt 3)=- \frac {1} {2}(1^{2}- \sqrt 3^{2} )=-0,5 \cdot (-2)=1 $

Тригонометрические формулы двойного угла

Формула Название формулы
$ sin2 \alpha=2sin\alpha \cdot cos \alpha $ Синус двойного угла
$ cos2 \alpha = cos ^{2} \alpha - sin ^{2} \alpha \\ cos2 \alpha = 2cos^{2} \alpha - 1 \\ cos2 \alpha = 1 - 2sin^{2} \alpha $ Косинус двойного угла
$ tg2 \alpha = \frac {2tg \alpha}{1-tg^{2} \alpha} \\ \alpha \neq \frac {\pi}{4}+ \frac{\pi n}{2}, \; n \in Z$ Тангенс двойного угла

Пример. Найдите 2cos2α, если sinα = - 0,7.

Решение. Используем формулу косинуса двойного угла: cos2α = 1 – 2sin²α.

Получаем: 2cos2α = 2·(1 – 2sin²α) = 2·(1-2·(-0,7)2) = 2·(1-2·0,49) = 0,04.

Пример. Найдите значение выражения $ \frac {12 sin 11^{\circ} \cdot cos 11^{\circ}}{sin 22^{\circ}} $

Решение. Применяем формулу sin2α = 2sinα·cosα:

$ \frac {12 sin 11^{\circ} \cdot cos 11^{\circ}}{sin 22^{\circ}} = \frac {6 sin 22^{\circ}}{sin 22^{\circ}} = 6 $.

Формулы понижения степени

Формула Название формулы
$ sin^{2} \alpha = \frac {1 - cos 2 \alpha}{2} $ ражение квадратного синуса через косинус двойного угла
$ cos^{2} \alpha = \frac {1 + cos 2 \alpha}{2} $ Выражение квадратного косинусачерез косинус двойного угла
$ tg^{2} \alpha = \frac {1 - cos 2 \alpha}{1 + cos 2 \alpha} \\ \alpha \neq \frac {\pi}{2}+ \pi n, \; n \in Z$ Выражение квадрата тангенсачерез косинус двойного угла

Пример. Найти значение выражения $ 3sin^{2}4x $, если $ cos8x=0,5 $

Решение. Используем формулу понижения степени:

$ sin^{2}x= \frac {1-cos2x}{2} $

Применительно к углам 4x и 8x она будет выглядеть так:

$ sin^{2}4x= \frac {1-cos8x}{2} $

Находим значение выражения:

$ 3sin^{2}4x= 3 \cdot \frac {1-cos8x}{2}= 3 \cdot \frac {1-0,5}{2}= 3 \cdot \frac {3 \cdot 0,5}{2}= \frac {3}{4}=0,75 $

Тригонометрические формулы произведения

Формула Название формулы
$ sin \alpha \cdot sin \beta = \frac {1}{2} (cos (\alpha-\beta)-cos(\alpha+\beta)) $ Произведение синусов
$ cos \alpha \cdot cos \beta = \frac {1}{2} (cos (\alpha-\beta)-cos(\alpha+\beta)) $ Произведение косинусов
$ sin \alpha \cdot cos \beta = \frac {1}{2} (sin (\alpha+\beta)+sin(\alpha-\beta)) $ Произведение синуса и косинуса

Пример. Вычислить sin 20°·sin 40°, считать, что cos 20° = 0,9

Решение. Заметим, что

$ sin 20 ^ {\circ} \cdot sin 40 ^{\circ} = \frac {1}{2}(cos (20^{\circ}-40^{\circ}) - cos (20^{\circ}+40^{\circ}))=\frac {1}{2}(cos20^{\circ}-cos60^{\circ})=0,5 \cdot(0,9-0,5)=0,2 $.

Формулы суммы и разности тригонометрических функций

$ sin \alpha + sin \beta = 2sin^{\frac {\alpha + \beta}{2}} \cdot cos ^{\frac {\alpha-\beta}{2}}; \\ sin \alpha - sin \beta = 2sin ^{\frac {\alpha - \beta}{2}} \cdot cos ^{\frac {\alpha+\beta}{2}}; \\ cos \alpha + cos \beta = 2cos ^{\frac {\alpha + \beta}{2}} \cdot cos ^{\frac {\alpha-\beta}{2}}; \\ cos \alpha - cos \beta = -2sin ^{\frac {\alpha + \beta}{2}} \cdot sin ^{\frac {\alpha-\beta}{2}}. $

Формулы приведения

Формул приведения много, а точнее 32. И все формулы надо знать. К счастью существует простое мнемоническое правило, позволяющее быстро воспроизвести любую формулу приведения.

Каждая формула связывает между собой либо синус с косинусом, либо тангенс с котангенсом. Причём, первая функция либо меняется на вторую, либо нет.

1. В левой части формулы аргумент представляет собой сумму или разность одного из «основных координатных углов»: $ \frac {\pi}{2}, \pi, \frac {3\pi}{2}, 2\pi $ и острого угла $ \alpha $, а в правой части аргумент $ \alpha $

2. В правой части знак перед функцией либо «плюс», либо «минус».

Мнемоническое правило

Достаточно задать себе два вопроса:

1. Меняется ли функция на кофункцию?

Ответ: Если в формуле присутствуют углы $ \frac {\pi}{2} $ или $ \frac {3\pi}{2} $ — это углы вертикальной оси, киваем головой по вертикали и сами себе отвечаем: «Да», если же присутствуют углы горизонтальной оси π или 2π, то киваем головой по горизонтали и получаем ответ: «Нет».

2. Какой знак надо поставить в правой части формулы?

Ответ: Знак определяем по левой части. Смотрим, в какую четверть попадает угол, и вспоминаем, какой знак в этой четверти имеет функция, стоящая в левой части.

Например, sin $ ( \frac {3 \pi}{2} + \alpha ) $.

1) «Меняется функция или нет?»

$ \frac {3\pi}{2} $ — угол вертикальной оси, киваем головой по вертикали: «Да, меняется». Значит, в правой части будет cosα.

2) «Знак?»

Угол $ ( \frac {3 \pi}{2} + \alpha ) $ попадает в IV четверть. Синус в IV четверти имеет знак «минус». Значит, в правой части ставим знак «минус».

Итак, получили формулу, sin $ ( \frac {3 \pi}{2} + \alpha ) = –cosα. $

Пример. Найдите значение выражения $ \frac {14sin409^{\circ}}{sin49^{\circ}} $

Решение. Используем формулу приведения:

$ \frac {14sin409^{\circ}}{sin49^{\circ}} = \frac {14sin(360^{\circ}+49^{\circ})}{sin49^{\circ}}=\frac {14sin49^{\circ}}{sin49^{\circ}}=\frac {14}{1}=14 $

Пример. Найдите значение выражения $ 5tg17^{\circ} · tg107^{\circ} $.

Решение. Используем формулу приведения:

$ 5tg17^{\circ} · tg107^{\circ} = 5tg17^{\circ}·tg(90^{\circ} + 17^{\circ}) = 5tg17^{\circ}·(−ctg17^{\circ}) = −5(tg17^{\circ}·ctg17^{\circ}) = −5·1 = −5$.

Тригонометрический круг

Тригонометрический круг — это самый простой способ начать осваивать тригонометрию. Он легко запоминается, и на нём есть всё необходимое. Он заменяет десяток таблиц.

Сколько полезного на этом рисунке!

1. Перевод градусов в радианы и наоборот. Полный круг содержит 360 градусов, или радиан.

2. Значения синусов и косинусов основных углов. Помним, что значение косинуса угла мы находим на оси x, а значение синуса — на оси y.

3. И синус, и косинус принимают значения от –1 до 1.

Тригонометрический круг:

1. Значение тангенса угла α тоже легко найти — поделив sinα на cosα. А чтобы найти котангенс — наоборот, косинус делим на синус.

2. Знаки синуса, косинуса, тангенса и котангенса.

3. Синус — функция нечётная, косинус — чётная.

4. Тригонометрический круг поможет увидеть, что синус и косинус — функции периодические. Период равен 2π.

Графики тригонометрических функций

На рисунках приведены графики тригонометрических функций: y = sinx, y = cosx, y = tgx, y = ctgx.

1. График функции y = sinx

2. График функции y = cosx

3. График функции y = tgx

4. График функции y = ctgx

Прочитано Отметь, если полностью прочитал текст
Ништяк!

Решено верно

Браво!

Решено верно

Крутяк!

Решено верно

Зачёт!

Решено верно

Чётко!

Решено верно

Бомбезно!

Решено верно

Огонь!

Решено верно

Юхууу!

Решено верно

Отпад!

Решено верно

Шикарно!

Решено верно

Блестяще!

Решено верно

Волшебно!

Решено верно