Оглавление

3. Алгебра Читать 0 мин.

3.4. Степени и корни

Для того, чтобы возвести число в степень с натуральным показателем $ n $ , нужно умножить число само на себя $ n $ раз:

$ a^{n}\underbrace{a\cdot a \cdot...\cdot a}_n $

В этой записи $ a $ – основание, $ n $ – показатель степень.

Для проведения вычислений удобно использовать формулы преобразования выражений со степенями. Они универсальны и работают для любых показателей (целых, рациональных или иррациональных).

Правило Формула
Любое число в нулевой степени равно единице $ a^{0}=1 $
Любое число в первой степени равно самом себе $ a^{1}=a $
Единица в любой степени равна единице $ 1^{m}=1 $
При перемножении степеней одинаковыми основаниями их показатели складываются, а основание не меняется $ a^{m} \cdot a^{n}=a^{m+n} $
При делении степеней с одинаковыми основаниями из показателя делимого вычитается показатель делителя, а основание не меняется $ \frac {a^{m}}{a^{n}}=a^{m-n} $
При возведение степени в степень показатели перемножаются, а основание не меняется $ (a^{n})^{m}=a^{mn} $
Степень произведения равна произведению степеней $ (ab)^{n}=a^{n} \cdot b^{n} $
Степень частного равна частному степеней $ \big( \frac{a}{b} \big)^{m}=\frac{a^{m}}{b^{m}}$
При возведении в отрицательную степень, основание степени "переворачивается", и знак показателя степени меняется на противоположный $ a^{-n}= \frac {1}{a^{n}}= \big( \frac {1}{a} \big)^{n} $

Применим эти правила для решения следующих задач.

Пример 1

$ \frac{3^{5}}{3^{3}}=3^{5-3}=3^{2}=9 $

Воспользуемся формулой для частного степеней с одинаковыми основаниями.

Пример 2

$ \frac {20^{3}}{10^{3}} = \big( \frac {20}{10} \big)^{3}=2^{3}=8 $

Так как степень частного равна частному степеней, занесем всю дробь под одну степень.

Пример 3

$ \frac {1}{2^{-2}} = \frac {1^{-2}}{2^{-2}} = \big( \frac {1}{2} \big)^{-2}=2^{2}=4 $

Для удобства представим $ 1=1^{-2} $ и занесем всю дробь под одну степень.

Иногда для записи дробных степеней используют специальный знак – корень. На самом деле корень - всего лишь дробная степень:

$ \sqrt[n]{a}=a^{ \frac {1}{n}} $

Чаще всего встречается квадратный корень из числа:

$ \sqrt{a}=a^{ \frac {1}{2}} $

Выражения с корнями преобразуется по тем же правилам, что и все остальные степени.

Следует различать корни нечетной степени $ \sqrt[3]{a}, \; a^{ \frac {1}{5}} $ и корни четной степени $ \sqrt{a},\; a^{ \frac {3}{8}} $ .

Корень нечетной степени из отрицательного числа – отрицательное число; из положительного – положительное.

$ \sqrt[3]{-27}=-3 $

Корень четной степени берется только из неотрицательного числа. Само значение корня четной степени может быть только неотрицательным.

$ \sqrt{4}=2 $,

$ \sqrt{-4} $ - не существует.

Пример 4

$ \sqrt{a^{2}} = \sqrt {|a|^{2}} = |a| $

$ a^{2} \geq 0 $, следовательно, корень из этого выражения существует. При этом значение $ a $ может быть любым. Если действовать по правилам степеней без модуля, имеем:

$ \sqrt{a^{2}} = a^{ \frac {2}{2}}=a^{1}=a $.

В случае отрицательного $ a $ получаем, что корень четной степени равен отрицательному числу, что невозможно.

Пример 5

$ \sqrt[3]{2} \cdot \sqrt[3]{32}=\sqrt[3]{64}=64^{\frac {1}{3}}=4 $

Так как корень – это степень, то можем воспользоваться правилом «степень произведения равна произведению степеней».

Пример 6

$ \frac {\sqrt{3}}{\sqrt{12}}=\sqrt {\frac {3}{12}}=\sqrt {\frac {1}{4}}=\frac {1}{2}=0,5 $

Частное степеней равно степени частного, поэтому занесем всю дробь под общий корень.

Пример 7

$ 4^{\frac {3}{2}}=4^{3 \cdot \frac {1}{2}}=(\sqrt {4})^{3}=2^{3}=8 $

Представим число $ \frac {3}{2}=3 \cdot \frac {1}{2} $ в виде произведения, чтобы можно было воспользоваться правилом «При возведении степени в степень показатели перемножаются, а основание не меняется» в обратную сторону.

Помимо выражений с числами, в заданиях часто встречаются выражения с символьными переменными. К счастью, выписанные нами формулы, продолжают работать и в этом случае.

Пример 8

$ \frac {a^{2} \cdot (a^{\frac {5}{2}})^{2}}{a^{7}}=\frac {a^{2} \cdot a^{\frac {5}{2} \cdot 2}}{a^{7}}=a^{2+5-7}=a^{0}=1 $

Возведем степень в степень, перемножая показатели. Так как все основания одинаковые, то заменим произведение степеней на сумму показателей, а частное – на разность. Основание при этом не меняем.

Пример 9

$ \sqrt [7]{b^{10}} \cdot \big( \sqrt[7]{b} \big)^{-3}=b^{\frac {10}{7}} \cdot \big( b^{\frac {1}{7}} \big)^{-3}=b^{\frac {10}{7}} \cdot b^{\frac {-3}{7}}=b^{\frac {10}{7} - \frac {3}{7}}=b^{1}=b $

Перепишем корень как дробный показатель. Заменим возведение степени в степень на произведение показателей. Затем преобразуем произведение степеней, сложив их показатели.

Прочитано Отметь, если полностью прочитал текст
Ништяк!

Решено верно

Браво!

Решено верно

Крутяк!

Решено верно

Зачёт!

Решено верно

Чётко!

Решено верно

Бомбезно!

Решено верно

Огонь!

Решено верно

Юхууу!

Решено верно

Отпад!

Решено верно

Шикарно!

Решено верно

Блестяще!

Решено верно

Волшебно!

Решено верно