Для того, чтобы возвести число в степень с натуральным показателем $ n $ , нужно умножить число само на себя $ n $ раз:

$ a^{n}\underbrace{a\cdot a \cdot...\cdot a}_n $

В этой записи $ a $ – основание, $ n $ – показатель степень.

Для проведения вычислений удобно использовать формулы преобразования выражений со степенями. Они универсальны и работают для любых показателей (целых, рациональных или иррациональных).

Применим эти правила для решения следующих задач.

Пример 1

$ \frac{3^{5}}{3^{3}}=3^{5-3}=3^{2}=9 $

Воспользуемся формулой для частного степеней с одинаковыми основаниями.

Пример 2

$ \frac {20^{3}}{10^{3}} = \big( \frac {20}{10} \big)^{3}=2^{3}=8 $

Так как степень частного равна частному степеней, занесем всю дробь под одну степень.

Пример 3

$ \frac {1}{2^{-2}} = \frac {1^{-2}}{2^{-2}} = \big( \frac {1}{2} \big)^{-2}=2^{2}=4 $

Для удобства представим $ 1=1^{-2} $ и занесем всю дробь под одну степень.

Иногда для записи дробных степеней используют специальный знак – корень. На самом деле корень - всего лишь дробная степень:

$ \sqrt[n]{a}=a^{ \frac {1}{n}} $

Чаще всего встречается квадратный корень из числа:

$ \sqrt{a}=a^{ \frac {1}{2}} $

Выражения с корнями преобразуется по тем же правилам, что и все остальные степени.

Следует различать корни нечетной степени $ \sqrt[3]{a}, \; a^{ \frac {1}{5}} $ и корни четной степени $ \sqrt{a},\; a^{ \frac {3}{8}} $ .

Корень нечетной степени из отрицательного числа – отрицательное число; из положительного – положительное.

$ \sqrt[3]{-27}=-3 $

Корень четной степени берется только из неотрицательного числа. Само значение корня четной степени может быть только неотрицательным.

$ \sqrt{4}=2 $,

$ \sqrt{-4} $ - не существует.

Пример 4

$ \sqrt{a^{2}} = \sqrt {|a|^{2}} = |a| $

$ a^{2} \geq 0 $, следовательно, корень из этого выражения существует. При этом значение $ a $ может быть любым. Если действовать по правилам степеней без модуля, имеем:

$ \sqrt{a^{2}} = a^{ \frac {2}{2}}=a^{1}=a $.

В случае отрицательного $ a $ получаем, что корень четной степени равен отрицательному числу, что невозможно.

Пример 5

$ \sqrt[3]{2} \cdot \sqrt[3]{32}=\sqrt[3]{64}=64^{\frac {1}{3}}=4 $

Так как корень – это степень, то можем воспользоваться правилом «степень произведения равна произведению степеней».

Пример 6

$ \frac {\sqrt{3}}{\sqrt{12}}=\sqrt {\frac {3}{12}}=\sqrt {\frac {1}{4}}=\frac {1}{2}=0,5 $

Частное степеней равно степени частного, поэтому занесем всю дробь под общий корень.

Пример 7

$ 4^{\frac {3}{2}}=4^{3 \cdot \frac {1}{2}}=(\sqrt {4})^{3}=2^{3}=8 $

Представим число $ \frac {3}{2}=3 \cdot \frac {1}{2} $ в виде произведения, чтобы можно было воспользоваться правилом «При возведении степени в степень показатели перемножаются, а основание не меняется» в обратную сторону.

Помимо выражений с числами, в заданиях часто встречаются выражения с символьными переменными. К счастью, выписанные нами формулы, продолжают работать и в этом случае.

Пример 8

$ \frac {a^{2} \cdot (a^{\frac {5}{2}})^{2}}{a^{7}}=\frac {a^{2} \cdot a^{\frac {5}{2} \cdot 2}}{a^{7}}=a^{2+5-7}=a^{0}=1 $

Возведем степень в степень, перемножая показатели. Так как все основания одинаковые, то заменим произведение степеней на сумму показателей, а частное – на разность. Основание при этом не меняем.

Пример 9

$ \sqrt [7]{b^{10}} \cdot \big( \sqrt[7]{b} \big)^{-3}=b^{\frac {10}{7}} \cdot \big( b^{\frac {1}{7}} \big)^{-3}=b^{\frac {10}{7}} \cdot b^{\frac {-3}{7}}=b^{\frac {10}{7} - \frac {3}{7}}=b^{1}=b $

Перепишем корень как дробный показатель. Заменим возведение степени в степень на произведение показателей. Затем преобразуем произведение степеней, сложив их показатели.