Оглавление

3. Алгебра Читать 0 мин.

3.16. Отбор корней

Задача 1

а) Решите уравнение: sinx = 0,5.

б) Укажите корни, принадлежащие отрезку [-π; 2π].

Решение:

а) sinx = 0,5;

х = $\frac{\pi}{6}$ + 2πn или x = 5 · $\frac{\pi}{6}$ + 2πk, n, k $\in$ Z.

Корни уравнения: $\frac{\pi}{6}$ + 2πn, 5 · $\frac{\pi}{6}$ + 2πk, k $\in$ Z.

б) Теперь будем искать корни, принадлежащие отрезку [-π; 2π].

Рассмотрим 3 способа отбора корней:

  • Способ №1. С помощью двойного неравенства:

−π ≤ $\frac{\pi}{6}$ + 2πn ≤ 2π;

−1 ≤ $\frac{1}{6}$ + 2n ≤ 2;

$-\frac{7}{6}$ ≤ 2n ≤ $\frac{11}{6}$

$-\frac{7}{12}$ ≤ n ≤ $\frac{11}{12}$.

Значит, n = 0, x = $\frac{\pi}{6}$.

π ≤ 5 · $\frac{\pi}{6}$ + 2πk ≤ 2π;

−1 ≤ $\frac{5}{6}$ + 2k ≤ 2;

−$\frac{11}{6}$ ≤ 2k ≤ $\frac{7}{6}$;

−$\frac{11}{6}$ ≤ k ≤ -$\frac{7}{12}$.

Значит, k = 0, х = 5 · $\frac{\pi}{6}$.

Этот способ наиболее точный и если учащиеся владеют навыками решения двойного неравенства, то понятный и подходит совершенно всем и в любых случаях.

  • Способ №2. С помощью окружности:

a) На окружности найдем края отрезка: точки –π и 2π.

б) Смотрим на точки — из каких серий решения попали в этот отрезок.

в) Выбираем эти точки.

Если данные отрезки бывают длиной больше 2π, тогда можно потерять некоторые корни, поэтому рекомендуется: нарисовать вторую концентрическую окружность, будто соответствующую следующему периоду (это просто модель, которая помогает решить задачу). Этот способ хорошо дается тем, кто умеет определять на окружности точки и отсчитывать периоды.

  • Способ №3. С помощью графика:

а) Чертим график у = sinx;

б) Выделяем отрезок —π;;

в) Проводим прямую у = $\frac{1}{2}$;

г) Отмечаем точки с ординатой $\frac{1}{2}$ на искомом отрезке, получаем х = $\frac{\pi}{6}$ и 5 · $\frac{\pi}{6}$.

Способ очень наглядный и подойдет тем, кто не усвоил вышеизложенные два способа.

Прочитано Отметь, если полностью прочитал текст
Ништяк!

Решено верно

Браво!

Решено верно

Крутяк!

Решено верно

Зачёт!

Решено верно

Чётко!

Решено верно

Бомбезно!

Решено верно

Огонь!

Решено верно

Юхууу!

Решено верно

Отпад!

Решено верно

Шикарно!

Решено верно

Блестяще!

Решено верно

Волшебно!

Решено верно