Оглавление

4. Планиметрия Читать 0 мин.

4.8. Тригонометрия в геометрии

Решающую роль в решении задач на тригонометрию играет знание определений тригонометрических функций.

ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ:

Рассмотрим прямоугольный треугольник ABC и угол A в нем.

Синус угла — отношение противолежащего катета к гипотенузе.

Косинус угла — отношение прилежащего катета к гипотенузе.

Тангенс угла — отношение противолежащего катета к прилежащему.

Котангенс угла — отношение прилежащего катета к противолежащему.

НАХОЖДЕНИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ:

В треугольнике ABC c углом С, равным 90°, гипотенуза AB = 17, а катет AC = 15.

Найдем синус угла B.

$\sin B = \displaystyle\frac{прот.кат.}{гип.}=\displaystyle\frac{AC}{AB}=\displaystyle\frac{15}{17}$

Чтобы найти косинус угла B, необходимо значение прилежащего катета — BC, которое нам пока неизвестно. Из Пифагоровой тройки 8 : 15 : 17 находим BC = 8.

$\cos B = \displaystyle\frac{прил.кат.}{гип.}=\displaystyle\frac{BC}{AB}=\displaystyle\frac{8}{17}$

Найдем тангенс угла B.

$\mathop{\mathrm{tg}} B = \displaystyle\frac{прот.кат.}{прил.кат.}=\displaystyle\frac{AC}{BC}=\displaystyle\frac{15}{8}$

Найдем котангенс угла B.

$\mathop{\mathrm{ctg}} B = \displaystyle\frac{прил.кат.}{прот.кат.}=\displaystyle\frac{BC}{AC}=\displaystyle\frac{8}{15}$

Найдем синус угла A.

$\sin A = \displaystyle\frac{прот.кат.}{гип.}=\displaystyle\frac{BC}{AB}=\displaystyle\frac{8}{17}$

Заметим, что

$\cos B = \frac{8}{17}\ \,и\ \sin A = \frac{8}{17},\ то\ есть \cos B = \sin A$.

Аналогично можно сказать, что

$\cos A = \sin B,\ \mathop{\mathrm{tg}} B = \mathop{\mathrm{ctg}} A\ \,и\ \mathop{\mathrm{tg}} A = \mathop{\mathrm{ctg}} B$.

Можно запомнить эту закономерность. Это происходит, потому что ∠A + ∠B = 90°, и тут вступают в силу формулы приведения, которые более подробно будут в дальнейшем разобраны на курсе.

ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУКНЦИИ — БЕЗРАЗМЕРНЫЕ ВЕЛИЧНЫ:

Важно понимать, что тригонометрические функции — это безразмерные величины (не имеют единиц измерения), они показывают только отношение.

К примеру, если для треугольника ABC известно, что $\sin B = \frac{\sqrt{3}}{2}$, это не значит, что противолежащий углу B катет AC равен √3, а гипотенуза AB равна 2. Это значит, что противолежащий катет AC относится к гипотенузе AB как √3 к 2. И если бы нам была известна одна из длин: либо катет AC, либо гипотенуза AB то, зная синус угла B, мы могли бы найти вторую сторону.

Пример 1. $\sin B = \frac{\sqrt{2}}{2},\ AB = 4\sqrt{2}$. Найдите сторону AC.

Решение:

$\sin B = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$\sin B = \frac{прот.кат.}{гип.}=\frac{AC}{AB}=\frac{AC}{4\sqrt{2}} \\ \frac{AC}{4\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2} \Rightarrow AC = \frac{4\sqrt{2}\,\,\cdot\,\sqrt{2}}{2}=4$

Пример 2. $\cos B = \frac{\sqrt{3}}{2},\ AB=\displaystyle\sqrt{12}$. Найдите сторону AC.

Решение:

$\cos B = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$\cos B = \frac{прил.кат.}{гип.}=\frac{BC}{AB}=\frac{BC}{\sqrt{12}}=\frac{BC}{2\sqrt{3}} \\ \frac{BC}{2\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{2} \Rightarrow BC = \frac{2\sqrt{3}\,\,\cdot\,\sqrt{3}}{2}=3$

Теперь в треугольнике ABC нам известны длины гипотенузы (AB = √12) и катета BC = 3. Воспользуемся теоремой Пифагора и найдем сторону AC. $\ AC^2 = AB^2 - BC^2 = (\displaystyle\sqrt{12})^2 - 3^2 = 12 - 9 = 3$

AC = √3

Ответ: √3

ЗНАЧЕНИЯ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ:

Таблица основных значений тригонометрических функций предлагает значения sin, cos, tg и ctg от нескольких углов: 0°, 30°, 45°, 60°, 90°.

Есть несколько способов нахождения значений тригонометрических функций от табличных углов:

  • Учить все значения по таблице. «Зазубривание» — не самый эффективный метод подготовки к экзамену.
  • Находить значения по тригонометрическому кругу.
  • Воспользоваться «золотым» (с углами 90°, 60° и 30°) и «серебряным» (с углами 90°, 45° и 45°) треугольниками с заведомо известными отношениями сторон.

  • Правило ладони»

ФОРМУЛЫ, СВЯЗАННЫЕ С ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИМИ ФУКНЦИЯМИ:

1. Основное тригонометрическое тождество:

Основное тригонометрическое тождество — это следствие из теоремы Пифагора для тригонометрического круга. Вот еще один пример получения этой формулы:

Рассмотрим треугольник ABC. Запишем теорему Пифагора для него:

$AC^2 + BC^2 = AB^2$

Поделим каждое слагаемое на AB2.

$\left(\frac{AC}{AB}\right)^2 + \left(\frac{BC}{AB}\right)^2 = 1$

Первое и второе слагаемые — это квадраты синуса и косинуса для угла A или B.

$\sin^2 a + \cos^2 a = 1$

Из основного тригонометрического тождества при наличии значения одной из функций — sin или cos — можно найти вторую.

$\sin^2 a = 1 - \cos^2 a\quad и\quad\!\cos^2 a = 1 - \sin^2 a$

2. Формулы для тангенса и котангенса.

$\sin=\frac{прот.кат.}{гип.}\; и\;\cos=\frac{прил.кат.}{гип.} \\ {\displaystyle\frac{\sin}{\cos}}=\frac{прот.кат.}{гип.}\!\cdot\!\frac{гип.}{прил.кат.}=\frac{прот.кат.}{прил.кат}=\mathrm{tg} \\[12pt] {\displaystyle\frac{\cos}{\sin}}=\frac{прил.кат.}{гип.}\!\cdot\!\frac{гип.}{прот.кат.}=\frac{прил.кат.}{прот.кат.}=\mathrm{ctg}$

То есть:

$\mathrm{tg}=\displaystyle\frac{\sin}{\cos}\quad и\quad\mathrm{ctg}=\frac{\cos}{\sin}$

3. Теорема косинусов.

Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними.

$c^2=a^2+b^2-2ab\cdot\cos\gamma$

4. Теорема синусов.

Отношения сторон треугольника к синусам противоположных им углов равны. Это отношение равно 2R, где R — радиус описанной окружности.

$\displaystyle\frac{a}{\sin\alpha}=\frac{b}{\sin\beta}=\frac{c}{\sin\gamma}=2R$

Прочитано Отметь, если полностью прочитал текст
Ништяк!

Решено верно

Браво!

Решено верно

Крутяк!

Решено верно

Зачёт!

Решено верно

Чётко!

Решено верно

Бомбезно!

Решено верно

Огонь!

Решено верно

Юхууу!

Решено верно

Отпад!

Решено верно

Шикарно!

Решено верно

Блестяще!

Решено верно

Волшебно!

Решено верно